Matematica VI 10 Operatii cu numere intregi II

OPERAȚII CU NUMERE ÎNTREGI

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Matematică

Clasa a VI-a

Scop:

- dezvoltarea gândirii logico-matematice și înțelegerea lumii din jurul nostru

Competențe generale și competențe specifice

CG2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural cuprinse în diverse surse informaționale.

2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor.

Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operaţiilor cu numere întregi: adunare, scădere, înmulțire și împărțire.

CG3: Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice.

3.3. Aplicarea regulilor de calcul şi folosirea parantezelor în efectuarea operaţiilor cu numere întregi.

CG5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii date. 5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerele întregi.

CUPRINS:

01

Înmulțirea numerelor întregi

02

Împărțirea numerelor întregi

01

Înmulțirea numerelor întregi

.

Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.

Pentru a efectua operația de înmulțire a două numere întregi prezentăm următoarele cazuri:

Cazul I: Numerele întregi a și b sunt numere naturale.

Produsul a două numere întregi, a și b, care sunt numere naturale, este numărul întreg c, care este produsul numerelor naturale a și b.

Exemple: 3 ∙ 4 = 12; 0 ∙ 7 = 0; 9 ∙ 5 = 45.

Cazul II: Numerele întregi a și b sunt numere întregi negative.

Produsul a două numere întregi negative a și b este numărul întreg pozitiv c=|a| ∙ |b|.

Exemple: – 2 ∙ (–3) = 6; – 6 ∙ (–5) = 30; – 8 ∙ (–3) = 24.

.

Cazul III: Unul dintre numerele întregi a și b este număr natural, iar celălalt este număr întreg negativ.

Produsul a două numere întregi întregi a și b, din care unul este număr natural, iar celălalt este număr întreg negativ este numărul întreg c care se obține astfel:

Dacă a = 0 sau b = 0, atunci c = 0. În caz contrar c = – | a | ∙ | b |

Exemple:

– 6 ∙ 3 = – 18; + 6 ∙ (– 3) = – 18;

– 5 ∙ 0 = 0 ; 0 ∙ (– 6) = 0.

Proprietățile înmulțirii numerelor întregi

- 5 ∙ 7 = 7 ∙ (- 5)

Această proprietate a înmulțirii numerelor întregi se numește comutativitatea înmulțirii numerelor întregi și se enunță astfel:

Oricare ar fi numerele întregi a și b avem:

a ∙ b = b ∙ a.

(- 7 ∙ 2) ∙ (- 5) = - 7 ∙ [ 2 ∙ (- 5)]

Această proprietate a înmulțirii numerelor întregi se numește asociativitatea înmulțirii numerelor întregi și se enunță astfel:

Oricare ar fi numerele întregi a, b și c avem:

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c).

5 ∙ 1 = 5; - 3 ∙ 1 = - 3;

Această proprietate exprimă faptul că numărul întreg 1 este element neutru pentru înmulțirea numerelor întregi, și se enunță astfel:

Oricare ar fi numărul întreg a avem:

a ∙ 1 = 1 ∙ a = a.

-2 ∙ [7 + ( - 11)] = -2 ∙ 7 + (-2) ∙( - 11)

-2 ∙ [7 - ( - 11)] = -2 ∙ 7 - (-2) ∙( - 11)

Aceste proprietăți, în care intervin atât operațiile de adunare/scădere, cât și cea de înmulțire a numerelor întregi, reprezintă distributivitatea înmulțirii față de adunare/scădere, și se enunță astfel:

Oricare ar fi numerele întregi a , b și c avem:

a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c

a ∙ ( b - c ) = a ∙ b - a ∙ c

02

Împărțirea numerelor întregi

.

.

Împărțirea numerelor întregi se reduce la împărțirea numerelor naturale. Oricare au fi două numere întregi a și b, avem:

dacă a > 0 și b > 0 sau a < 0 și b < 0 și câtul numerelor naturale | a | și | b | există, atunci a : b = | a | : | b |;

dacă a > 0 și b < 0 sau a < 0 și b > 0 și câtul numerelor naturale | a | și | b | există, atunci a : b = – | a | : | b |;

dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci a : b = 0.

Observație:

Regula semnelor stabilită la înmulțirea numerelor întregi se păstrează și la împărțirea numerelor întregi.

.

Exemple:

+ 20 : (+ 5) = |+20| : |+5| = 20 : 5 = 4;

– 20 : (– 5) = | – 20| : | – 5| = 20 : 5 = 4;

+ 20 : (– 5) = – | + 20| : | – 5| = – 20 : 5 = – 4;

– 20 : (+ 5) = – | + 20| : | – 5| = – 20 : 5 = – 4;

0 : ( + 3) = 0;

0 : ( – 7) = 0;

50 : ( – 5) = – 10;

– 14 : 2 = – 7;

+ 21 : 3 = + 7 = 7.

Bibliografie

Dan Brânzei, Roxana Brânzei – “Metodica predării matematicii” Editura Paralela 45, București, 2005

Daniela Briciu, Aurelia Rusu – “Probabilități în gimnaziu” Editura Paralela 45, București, 2006

Câmpan Florica, ”Probleme celebre”, Ed. Albatros, București, 1972

Mihu Cerchez, Theodor Dăneț – “Probleme pentru aplicarea matematicii în practică”, Editura Didactică și Pedagogică , București, 1982

Florin Cîrjan – “Didactica Matematicii”, Editura Corint, București 2002.

Venera- Mihaela Cojocariu – “Teoria și metodologia instruirii”, Editura Didactică și Pedagogică , București, 2008

Traian Cohal, “Vă place matematica?”, Ed. Moldova, Iaşi 1991;

I.Dănciă – „Dicţionar de noţiuni şi metode matematice” – Ed. Erc.Press – Bucureşti 2009

Gheorghe Neagu, Narcisa Neagu – “Teme alese de metodica predării matematicii”, Editura Plumb, Bacău 2003

Programa școlară pentru disciplina matematică – clasa a VI-a

I. Cuculescu, C. Ottescu – “Matematica – manual pentru clasa a VI-a” – Editura Didactică și Pedagogică, 1989

Constantin P. Popovici, Ion C. Ligor, Valentina Alexianu – “Manual pentru clasa a VI-a-Aritmetică, Algebră” , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993

“Un matematician face matematică fiindcă vede în matematică ceva frumos, ceva interesant, ceva care îi este drag, ceva care îl tulbură, îl face să gândească, să mediteze și să viseze.”  Grigore Moisil